5.2 Terminologia y notación

  características operativas. -

Medidas de desempeño para una línea de espera que incluyen la probabilidad de que no haya unidades en el sistema, la cantidad promedio en la línea, el tiempo de espera promedio, etc.

Operación de estado estable

Operación normal de la línea de espera después de que ha pasado por un periodo inicial o transitorio. Las características operativas de las líneas de espera se calculan para condiciones de estado estable.

Tasa media de llegada

.- Cantidad promedio de clientes o unidades que llegan en un periodo dado.

Tasa media de servicio. -

Cantidad promedio de clientes o unidades que puede atender una instalación de servicio en un periodo dado.

Línea de espera de canales múltiples. -

Línea de espera con dos o más instalaciones deservicio paralelas.

Bloqueado. -

Cuando las unidades que llegan no pueden entrar a la línea de espera debido a que el sistema está lleno. Las unidades bloqueadas pueden ocurrir cuando no se permiten las líneas de espera o cuando las líneas de espera tienen una capacidad finita.

Población infinita. -

Población de clientes o unidades que pueden buscar servicio, no tiene un límite superior especificado.

Población finita. -

Población de clientes o unidades que pueden buscar servicio, tiene un valor fijo y finito. Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar :

nomenclatura

a= La distribución de tiempo entre llegadas.

b= La distribución de tiempo de servicio.

c= El número de servidores en paralelo.

d= Tipo de disciplina en el servicio (FCFS, LCFS, SIRO, PRIORIDAD).

e= Número máximo admitido en el sistema (línea de espera + en servicio).

f= Tamaño de la población de donde se extrae los clientes.

Para reemplazar a los símbolos a y b se usan las siguientes iniciales:

M = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución exponencial entrada o salida de Poisson (o Markoviana).

D= Cuando el tiempo de llegada o servicio es determinista

Ek = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución de Erlangs con parámetro K.

G = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución general (cualquier distribución arbitraria)

Como observamos los elementos básicos para crear un modelo de línea de espera, dependerá de los siguientes factores:

Distribución de llegadas. (Individuales o en grupo).

Distribución de servicio. (Individuales o en grupo).

Diseño de  la instalación (estaciones en serie, paralelo, o en red)

Disciplina de servicio

Tamaño de la línea (finita  o infinita)

Fuente de los clientes (finita  o infinita)
ejemplo

Líneas de espera

5.1 Definiciones, características y suposiciones 

Teoría de colas.

 La teoría de colas es una disciplina, dentro de la investigación operativa, que tiene por objeto el estudio y análisis de situaciones en las que existen ente que demandan cierto servicio, de tal forma que dicho servicio no puede ser satisfecho instantáneamente, por lo cual se provocan esperas.

Características:

Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas:

1. Determinístico: En el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo (conocido como ciclos de tiempo).
2. Probabilístico: En el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad.

*Nota* En el caso probabilístico, la determinación de la distribución real, a menudo, resulta difícil. Sin embargo, una distribución, la distribución exponencial, ha probado ser confiable en muchos de los problemas prácticos.

Supuestos:

1) El sistema de cola existe siempre y cuando, el número de entidades es mayor al número de servidores.

2) La tasa de llegada (ʎ) y la tasa de servicio (µ) deben darse en proceso poissoniano, es decir las llegadas se da según la distribución poisson y el tiempo de servicios sigue una distribución exponencial.  

3) La tasa de servicio de un sistema debe ser menor que la tasa de llegada del mismo, de lo contrario el sistema colapsa. µ > ʎ

Clasificación de los sistemas de cola

Existen 2 tipos de sistemas de colas:

° Sistema básico: Es aquel donde existe una población, un sistema de llegada, además existe solo un sistema de cola  y de servicio (sin importar en número de colas, ni el número de servidores). Es decir, en este sistema las entidades al recibir el servicio salen del sistema y no ingresan a otro.

° Sistema multifase o en cascada: A diferencia del sistema básico el sistema multifase es aquel donde existe un conjunto de sistemas interconectados. Existe una población, un sistema de llegada, y existe más de un sistema de cola y de servicio (sin importar en número de colas, ni el número de servidores) con relación entre ellos. Es decir, en este sistema las entidades al recibir el servicio salen del sistema e ingresan uno o mas sistemas de cola y servicio, que pueden o no tener las mismas características.

4.3 Lote económico de producción

 Los modelos determinísticos son aquellos donde se supone que los datos se conocen con certeza, es decir, se supone que cuando el modelo sea analizado se tiene disponible toda la información necesaria para la toma de decisiones

Un Modelo determinístico es un modelo matemático donde las mismas entradas producirán invariablemente las mismas salidas, no contemplándose la existencia del azar ni el principio de incertidumbre. Está estrechamente relacionado con la creación de entornos simulados a través de simuladores para el estudio de situaciones hipotéticas, o para crear sistemas de gestión que permitan disminuir la incertidumbre.

Características 

La inclusión de mayor complejidad en las relaciones con una cantidad mayor de variables y elementos ajenos al modelo determinístico hará posible que éste se aproxime a un modelo probabilístico o de enfoque estocástico.

Estos tipos de modelos tienden a ser más populares en la literatura. 

Ejemplo: incluyen la mayoría de los modelos de RBC (Ciclo Real de Negocios), o nuevos modelos monetarios keynesianos.

En estos modelos, los choques golpean el día de hoy (con una sorpresa), pero después su valor esperado es cero. Se esperan choques futuros, o cambios permanentes en las variables exógenas que no pueden ser manejados por el uso de aproximaciones de Taulor en torno a un estado estacionario.

Hay que tener en cuenta que cuando estos modelos son linealizados al primer orden, los agentes se comportan como si los choques futuros fueran iguales a cero (ya que su expectativa es nula), que es la certeza de la propiedad de equivalencia. Se trata de una frecuencia en un punto alto en la literatura que induce a un error de los lectores en el supuesto de que sus modelos puedan ser determinísticos.

Ahora bien, dentro de los modelos podemos generar una subclasificación si consideramos además del supuesto de certeza, que la demanda puede ser estática, que es aquella donde esta permanece constante; y dinámica, donde a pesar de ser conocida, varía a través del tiempo.

Esto genera los siguientes modelos:

Inventarios con demanda determinística estática:

Consideramos que la demanda se conoce con certeza y es siempre la misma.

1. Modelos de cantidad económica de pedido (EOQ – clásico):Conocido también como el modelo Harris – Wilson, el método EOQ busca un equilibrio entre los costos de preparación y los costos de almacenamiento. Fue un modelo pionero que sirvió de base para el desarrollo de otras variantes del modelo, como EOQ con descuentos por cantidad, EOQ con faltantes planeados, EOQ con varios artículos con limitación de almacenamiento, etc.
2. EOQ con descuentos por cantidad: Considera la disminución del costo de compra de un artículo cuando se compra en gran cantidad.
3. EOQ con faltantes planeados: Plantea que durante un tiempo la demanda no será satisfecha generando faltantes.
4. Cantidad económica de pedido en producción (POQ): Considerando que el pedido se puede recibir a lo largo de un periodo de tiempo, este modelo tiene en cuenta que la tasa de demanda y la tasa de producción.

Inventarios con demanda determinística dinámica:

Tenemos un grado de conocimiento sobre la demanda pero esta varía a través del tiempo. Esto plantea un reto y es el tamaño del lote, pues en función de este los costos de inventario podrán ser mayores o menores. Para dar respuesta, se han generado métodos o sistemas de loteo, como son los siguientes:

Lote por lote: Consiste en obtener justamente lo que necesito, lo que conlleva a tener el inventario exacto requerido y con él un bajo costo de mantenimiento.

Período constante: Fija arbitrariamente los intervalos de pedido.

Cantidad económica de pedido (EOQ): El EOQ también puede ser usado para determinar el tamaño de un lote, sin embargo autores Jay Heizer y Barry Render no recomiendan su uso cuando la demanda es relativamente constante y no dinámica.

Balanceo de período fragmentado (BPF): Busca equilibrio entre los costos de mantener inventario y los costos de ordenar.

Algoritmo de Silver – Meal (SM): Es heurístico, es decir que a través de reglas de decisión busca dar una buena (u optima) solución al problema de inventario. Se enfoca en la minimización del costo total (ordenar y mantener) por período.

Costo unitario mínimo (CUM): Se enfoca en la minimización del costo unitario a través de la comparación de los costos de ordenar y mantener para diferentes tamaños de lote, en aras de elegir aquel que presente una menor diferencia.

Algoritmo de Wagner – Whitin (WW): A través de programación dinámica, busca la minimización del costo de ordenar y el de mantener inventario.

4.2.2 Lotes económicos con déficit

 Modelo de producción con déficit Este modelo determina la cantidad a producir, cuando se permite déficit, faltantes o pedidos pedidos pendientes.

Recordemos que déficit es la cantidad que falta a los ingresos para que se equilibren con los gastos.
Para su funcionalidad requiere lo siguiente:

1. Demanda conocida con tasa constante.
2. Tasa de producción conocida con tasa constante.
3. Tasa de producción mayor que tasa de demanda.
4. Los costos deben ser conocidos y constantes.

Se permite diferir demanda al futuro. Los parámetros y variables que maneja este modelo son:

T: tiempo total del periodo de planeación.
R: demanda total del periodo.
r: tasa de demanda por unidad de tiempo.
K: tasa de producción por unidad de tiempo.
Co: costo por ordenar una tanda de producción.
S: nivel máximo de inventario o superávit.
t1: tiempo de producción y demanda hasta generar el superávit.
t2: tiempo de demanda hasta consumir el superávit..
Cm: costo unitario de mantenimiento por unidad de tiempo.
D: déficit máximo.
t3: tiempo de demanda hasta generar el déficit.
t4: tiempo de producción y demanda hasta cubrir el déficit.
Te: tiempo total del ciclo.
Cp: costo unitario de penalización por unidad de tiempo.
Q: cantidad óptima a producir por ciclo.
Cv: costo variable por unidad.
Ct: costo total promedio por unidad de tiempo.
CT: costo total por unidad de tiempo.
N: número de ciclos en el periodo.
UMC: unidades mantenidas por ciclo.
Cme: costo de mantenimiento por ciclo.
UPC: unidades penalizadas por ciclo.
Cpe: costo de penalización por ciclo.

Este modelo supone que se inicia el inventario en cero unidades, que se coloca una orden de producción en ese instante y que dicha orden se completa en t1 unidades de tiempo; al final de éste se produce a razón de k unidades por unidad de tiempo y es consumido a razón de r unidades por unidad de tiempo. Existen en inventario S unidades (inventario máximo).

Cuando se llega al inventario máximo, la producción se suspende y durante un tiempo de t2 unidades solo se suple la demanda, por lo tanto al final de este tiempo se encuentra en el nivel cero del inventario.

A partir de aquí el cliente causa demanda, la cual no es satisfecha; esto sucede en t3 unidades de tiempo, al final se acumula una deuda de unidades con el cliente; déficit máximo. 

Para satisfacerla, se coloca una nueva orden de producción con la cual se empieza a reducir el déficit y a cubrir la demanda de este tiempo t4, al final el tiempo se vuelve a repetir ya que la información es determinística y genera los ciclos.

4.2.1 Lotes económicos sin déficit

Modelo de compra sin déficit

Para trabajar este modelo se supone una tasa de producción continua, lo cual permite hacer una reposición del inventario constante durante el tiempo de producción. En este modelo en particular, por ser de compra, se deduce que el artículo no será producido sino comprado o que se necesita un material auxiliar utilizado en la producción, pero este elemento es comprado.

Este modelo es también conocido como modelo de cantidad de pedido económico o lote económico (EOQ); es uno de los modelos de inventario más antiguo y conocido; está basado en hipótesis.

Está basado en las siguientes hipótesis:

1. La demanda es constante y conocida.
2. El plazo de entrega es constante y conocido.
3. El pedido llega en un solo lote y todo de una vez.
4. Los costos por ordenar un pedido y los costos de mantenimiento son constantes y conocidos.
5. No son posibles los descuentos por cantidad.
6. Se evitan las roturas de inventario.
7. No se permite diferir demanda al futuro.

Para trabajar este modelo es necesario conocer algunas variables como:

Q = Cantidad óptima a comprar por pedido (EOQ).
D = Demanda por unidad de tiempo.
Co = Costo por ordenar el pedido.
Cm = Costo de mantener una unidad por año.
CTO = Costo total por ordenar un pedido.
CTM = Costo total de mantenimiento.
CT = Costo total del inventario.

La cantidad óptima de pedido ocurrirá en el punto en que el costo por ordenar un pedido y los costos de almacenamiento sean iguales.
Costo total por ordenar  = (Demanda anual / Cant. optima) * Costo por ordenar  CTO = (D / Q) * Co

Costo total de mantenimiento = (Cantidad optima / 2) * Costo de mantenimiento CTM = (Q/2) * Cm

Luego se procede a la igualación:
CTO = CTM
(D/Q)*Co = (Q/2) * Cm
2 (D*Co) = Q (Q*Cm)
2DCo = Q^2 CM
Q^2 =2 DCMo/cM
Q = √(2DCo/Cm)

Ejemplo

La empresa manufacturera Galey compra 8.000 chip cada año para utilizar en los equipos que produce. El costo unitario de cada chip es de $30.000 y el costo de mantener o almacenar un chip en inventario por año es de $3.000, además se sabe que realizar un pedido tiene un costo de $10.000. ¿Cuál es la cantidad óptima de pedido?

Solución:

La información entregada por la Empresa Galey es la siguiente:

Demanda por unidad de tiempo D = 8.000 uds/año

Costo por ordenar Co = $30.000 / pedido

Costo de mantenimiento Cm = $3.000 /uds/año

Primero se debe observar que los datos a trabajar estén en la misma unidad de tiempo. Si la demanda es diaria se multiplica por el número de días que la empresa labora; cuando no se indican se asumen 20 días de producción al mes. Si la demanda es semanal se multiplica por el número de semanas a laborar en el año, normalmente está entre 50 y 52; si la demanda es semestral se multiplica por dos por cuanto el año tiene 2 semestres y así sucesivamente con otras demandas dadas en diferentes cronologías. Para el caso planteado de la empresa Galey, esta trabaja anualmente, lo que permite directamente aplicar la fórmula entregada por el modelo:

Q = √(2DCo/Cm)

Q = √ [(2(8.000)(30.000))/(3.000)]

Q = 400 uds/pedido

4.2 Modelos determinísticos

Los modelos determinísticos son aquellos donde se supone que los datos se conocen con certeza, es decir, se supone que cuando el modelo sea analizado se tiene disponible toda la información necesaria para la toma de decisiones

Un Modelo determinístico es un modelo matemático donde las mismas entradas producirán invariablemente las mismas salidas, no contemplándose la existencia del azar ni el principio de incertidumbre. Está estrechamente relacionado con la creación de entornos simulados a través de simuladores para el estudio de situaciones hipotéticas, o para crear sistemas de gestión que permitan disminuir la incertidumbre.

Características

La inclusión de mayor complejidad en las relaciones con una cantidad mayor de variables y elementos ajenos al modelo determinístico hará posible que éste se aproxime a un modelo probabilístico o de enfoque estocástico.

Estos tipos de modelos tienden a ser más populares en la literatura. Ejemplo: incluyen la mayoría de los modelos de RBC (Ciclo Real de Negocios), o nuevos modelos monetarios keynesianos.

En estos modelos, los choques golpean el día de hoy (con una sorpresa), pero después su valor esperado es cero. Se esperan choques futuros, o cambios permanentes en las variables exógenas que no pueden ser manejados por el uso de aproximaciones de Taulor en torno a un estado estacionario.

Hay que tener en cuenta que cuando estos modelos son linealizados al primer orden, los agentes se comportan como si los choques futuros fueran iguales a cero (ya que su expectativa es nula), que es la certeza de la propiedad de equivalencia. Se trata de una frecuencia en un punto alto en la literatura que induce a un error de los lectores en el supuesto de que sus modelos puedan ser determinísticos.

Ahora bien, dentro de los modelos podemos generar una clasificación si consideramos además del supuesto de certeza, que la demanda puede ser estática, que es aquella donde esta permanece constante; y dinámica, donde a pesar de ser conocida, varía a través del tiempo.

Esto genera los siguientes modelos:

Inventarios con demanda determinística estática:

Consideramos que la demanda se conoce con certeza y es siempre la misma.

1.  Modelos de cantidad económica de pedido (EOQ – clásico):

Conocido también como el modelo Harris – Wilson, el método EOQ busca un equilibrio entre los costos de preparación y los costos de almacenamiento. Fue un modelo pionero que sirvió de base para el desarrollo de otras variantes del modelo, como EOQ con descuentos por cantidad, EOQ con faltantes planeados, EOQ con varios artículos con limitación de almacenamiento, etc.

1.  EOQ con descuentos por cantidad: Considera la disminución del costo de compra de un artículo cuando se compra en gran cantidad.
2.  EOQ con faltantes planeados: Plantea que durante un tiempo la demanda no será satisfecha generando faltantes.
3. Cantidad económica de pedido en producción (POQ): Considerando que el pedido se puede recibir a lo largo de un periodo de tiempo, este modelo tiene en cuenta que la tasa de demanda y la tasa de producción.

Inventarios con demanda determinística dinámica:

Tenemos un grado de conocimiento sobre la demanda pero esta varía a través del tiempo. Esto plantea un reto y es el tamaño del lote, pues en función de este los costos de inventario podrán ser mayores o menores. Para dar respuesta, se han generado métodos o sistemas de loteo, como son los siguientes:

1.  Lote por lote: Consiste en obtener justamente lo que necesito, lo que conlleva a tener el inventario exacto requerido y con él un bajo costo de mantenimiento.
2.  Período constante: Fija arbitrariamente los intervalos de pedido.
3.  Cantidad económica de pedido (EOQ): El EOQ también puede ser usado para determinar el tamaño de un lote, sin embargo autores Jay Heizer y Barry Render no recomiendan su uso cuando la demanda es relativamente constante y no dinámica.
4.  Balanceo de período fragmentado (BPF): Busca equilibrio entre los costos de mantener inventario y los costos de ordenar.
5.  Algoritmo de Silver – Meal (SM): Es heurístico, es decir que a través de reglas de decisión busca dar una buena (u optima) solución al problema de inventario. Se enfoca en la minimización del costo total (ordenar y mantener) por período.
6.  Costo unitario mínimo (CUM): Se enfoca en la minimización del costo unitario a través de la comparación de los costos de ordenar y mantener para diferentes tamaños de lote, en aras de elegir aquel que presente una menor diferencia.
7.  Algoritmo de Wagner – Whitin (WW): A través de programación dinámica, busca la minimización del costo de ordenar y el de mantener inventario.

4.1 Sistemas de administración y control

Los sistemas de inventarios surgen de las diferencias entre el tiempo y la localización de la demanda y el abastecimiento. Un artículo debe contener tantas unidades como puedan demandarse, y nunca debería quedar fuera de existencia.

La cantidad se controla con el tiempo y la cantidad de cada orden. Así, lo más importante es:

Cuánto ordenar y cuándo ordenar.

La teoría matemática de inventarios utiliza diferentes modelos que se aplican con el fin de optimizar el costo de los inventarios que se manejan en las empresas. En dichos modelos se emplean los siguientes conceptos:

Inventarios: Son los materiales que una empresa mantiene en su almacén, con el fin de obtener uniformidad en la producción de los artículos que fabrica.

Tipos de Inventarios:

•  Inventarios de Materia Prima.
•  Inventarios de productos terminados.
•  Inventarios de producción en proceso.
•  Inventarios de componentes.
•  Inventarios de refacciones.

Costos de Ordenar: Son los que se generan cuando se ordena un determinado lote a los proveedores o al departamento de producción. Estos costos generalmente se deben a:

• Costos de papelería
• Costos de ajuste de maquinas.
• Costos de cambio de materiales.
• Otros.

Costos de Mantener: Estos costos se generan por los inventarios que se mantienen en el almacén. Generalmente están formados por:

• Costos de la mano de obra del almacén.
• Costos de la maquinaria de manejo de materiales en el almacén.
• Costo de energía y materiales del almacén.
•  Costo de renta y seguros del almacén
• Costo de los intereses por el capital invertido en inventarios.
• Costos de obsolescencia y deterioro.
• Otros.

Los costos de mantener y de ordenar se comportan de la siguiente forma:

• Para grandes valores de Q (lote de pedido), los costos de mantener son altos y los de ordenar son bajos (se pide menos veces por unidad de tiempo).
• Para valores pequeños de Q, los costos de mantener son bajos y los de pedir son altos (se pide mas veces por unidad de tiempo).

Sistema de administración.

Es un proceso el cual consiste en planear, dirigir, coordinar y controlar los recursos de una empresa para alcanzar una meta u objetivo. Esto se refiere a los temas analizados en el curso de administración de semestres anteriores.

Sistemas de control.

Son sistemas los cuales ayudan a fijar metas y evalúan la información de la empresa para señalar a los gerentes si las estrategias y estructuras de la organización están funcionando de manera eficaz y eficiente. Estos sistemas permiten alertar al gerente sobre algún problema o inconveniente para evitar fallas en la empresa.